- Признак Дирихле
-
Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна-Дирихле.
Содержание
Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода
Пусть выполнены условия:
- и имеет на ограниченную первообразную , то есть ;
- функция ;
- .
Тогда сходится.
- Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .
- Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.
Однако, условие монотонности не является необходимым.
- — сходится.
- Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.
Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа
- Определение (ряд Абелева типа)
Ряд , где и последовательность — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.
Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)
Пусть выполнены условия:
- Последовательность частичных сумм ограничена, то есть .
- .
- .
Тогда ряд сходится.
- Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
- Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:
- сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.
- Оценка остатка ряда Абелева типа
Рассмотрим ряд и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: .
См. также
Литература
А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.
Признаки сходимости рядов Для знакоположительных
рядовНеобходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак Для знакочередующихся
рядовПризнак Лейбница Для рядов вида Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле Для функциональных рядов Признак Вейерштрасса Для рядов Фурье Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича Для улучшения этой статьи желательно?: Категории:- Признаки сходимости
- Интегралы
Wikimedia Foundation. 2010.