- Математическое ожидание
-
См. также: Условное математическое ожидание
Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.[1] В англоязычной литературе и в математических сообществах Москвы и Санкт-Петербурга обозначается через [2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение .
Определение
Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .
Основные формулы для математического ожидания
- Если — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:
- .
Математическое ожидание дискретного распределения
- Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение
- ,
то прямо из определения интеграла Лебега следует, что
- .
Математическое ожидание целочисленной величины
- Если — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей
то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности
как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то и мы будем писать
Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения
Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией свойством: при . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:
Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения
- Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью , равно
- .
Математическое ожидание случайного вектора
Пусть — случайный вектор. Тогда по определению
- ,
то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.
Математическое ожидание преобразования случайной величины
Пусть — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:
- ,
если имеет дискретное распределение;
- ,
если имеет абсолютно непрерывное распределение.
Если распределение случайной величины общего вида, то
- .
В специальном случае, когда , Математическое ожидание называется -тым моментом случайной величины.
Простейшие свойства математического ожидания
- Математическое ожидание числа есть само число.
-
- — константа;
- Математическое ожидание линейно, то есть
-
- ,
- где — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а — произвольные константы;
- Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если почти наверное, и — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того
-
- ;
- Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверное, то
-
- .
- Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
-
- .
Дополнительные свойства математического ожидания
- Неравенство Маркова;
- Теорема Леви о монотонной сходимости;
- Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
- Тождество Вальда;
- Лемма Фату.
- Математическое ожидание случайной величины может быть выражено через её производящую функцию моментов как значение первой производной в нуле:
Примеры
- Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть Тогда её математическое ожидание
равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.
- Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где . Тогда её плотность имеет вид и математическое ожидание равно
- .
- Пусть случайная величина имеет стандартное распределение Коши. Тогда
- ,
то есть математическое ожидание не определено.
Примечания
- ↑ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
- ↑ А. Н. Ширяев 1 // «Вероятность». — М.: МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6
См. также
- Дисперсия случайной величины;
- Моменты случайной величины;
- Условное математическое ожидание;
- Выборочное среднее.
Литература
- В.Феллер. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Под ред. Е. Б. Дынкина. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.
Категории:- Теория вероятностей
- Средние величины
Wikimedia Foundation. 2010.