Разложение Шеннона

В математике, разложением Шеннона или декомпозицией Шеннона по переменной $x_i$ называется метод представления булевой функции от $n$ переменных в виде суммы двух подфункций от $(n - 1)$ остальных переменных. Хотя этот метод часто приписывают Клоду Шеннону, но Буль доказал его гораздо раньше, а сама возможность такого разложения по любой из переменной непосредственно вытекает из возможности определения любой булевой функции с помощью таблицы истинности.

Разложение

Разложение Шеннона по переменной $x_i$ основано на том, что таблицу истинности для булевой функции от $n$ бинарных переменных можно разбить на две части таким образом, чтобы в первой части оказались только те входные комбинации, в которых переменная $x_i$ всегда принимает значение $1$, а во второй части остались только те входные комбинации, в которых переменная $x_i$ всегда принимает значение $0$ (а её инвертированное значение $\overline{x_i}$ принимает значение $1$). В результате становится справедливым следующее тождество, называемое разложением Шеннона:

$f(x) = x_i \cdot f_{{x_i}}(x) + \overline{x_i} \cdot f_{\overline{x_i}}(x)$

где $f(x)$ является разлагаемой булевой функцией, $x_i$ и $\overline{x_i}$ являются неинвертированным и инвертированным значением переменной, по которой производится разложение, а $f_{{x_i}}(x)$ и $f_{\overline{x_i}}(x)$ являются соответственно положительным и отрицательным дополнением для функции $f(x)$ по переменной $x_i$. В разложении Шеннона знаками $\cdot$ и $+$ обозначены операции конъюнкции («И», AND) и дизъюнкции («ИЛИ», OR) соответственно, но тождество остается справедливым и при замене дизъюнкции на строгую дизъюнкцию (сложение по модулю 2, исключающее «ИЛИ», XOR), так как слагаемые никогда не принимают истинное значение одновременно (поскольку положительное дополнение $f_{{x_i}}(x)$ объединено конъюнкцией с $x_i$, а отрицательное дополнение $f_{\overline{x_i}}(x)$ объединено конъюнкцией с его инверсией $\overline{x_i}$).

Положительное дополнение $f_{{x_i}}(x)$ определяется той частью таблицы истинности, в которой переманная $x_i$ всегда принимает значение $1$ (а её инвертированное значение $\overline{x_i}$ принимает значение $0$):

$f_{{x_i}}(x) = f(x_1,...,x_{i-1},1,x_{i+1},...,x_n)$

Отрицательное дополнение $f_{\overline{x_i}}(x)$ определяется оставшейся частью таблицы, в которой переманная $x_i$ всегда принимает значение $0$ (а инвертированное значение $\overline{x_i}$ принимает значение $1$):

$f_{\overline{x_i}}(x) = f(x_1,...,x_{i-1},0,x_{i+1},...,x_n)$

Теорема разложения Шеннона при всей своей очевидности является важной идеей в булевой алгебре для представления булевых функций в виде бинарных диаграмм решений, решения задачи выполнимости булевых формул и реализации множества других техник, относящихся к компьютерной инженерии и формальной верификации цифровых схем.

В статье "The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits"^[1] Шеннон описал разложение функции по переменной $x_1$ как:

$f(x_1, x_2, \dots , x_n) = x_1 \cdot f(1, x_2, \dots , x_n) + \overline{x_1} \cdot f(0, x_2, \dots , x_n)$

с последующим разложением по двум переменным, и отметил, что разложение может быть продолжено по любому количеству переменных.

Пример разложения

Пусть дана булева функция от трех переменных $x$, $y$ и $z$, записанная в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы, т.е. в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций, каждая из которых содержит в одинаковом порядке каждую переменную или её дополнение (инверсию):

$f = xyz + xy'z + x'y'z + x'yz + x'y'z' \,$

Для разложения по переменной $x$ эту функцию можно переписать в виде суммы:

$f = xg_x + x'g_{x'} \,$

получив разложение булевой функции $f$ по переменной $x$ путем простого применения свойства дистрибутивности для переменной $x$ и её дополнения (инверсии) $x'$:

$f = x(yz + y'z) + x'(y'z + yz + y'z') \,$

Аналогично выполняется разложение функции $f$ по переменной $y$ или $z$:

$f = y(xz + x'z) + y'(xz + x'z + x'z') \,$

$f = z(xy + xy' + x'y' + x'y) + z'(x'y') \,$

В свою очередь для каждой из оставшихся функций от меньшего числа переменных можно продолжить разложение по одной из оставшихся переменных.

См. также

• Булева алгебра
• Математика

References

1. ↑ Shannon, Claude E.. «The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits». Bell System Technical Journal 28: 59–98.

Ссылки

• Shannon’s Decomposition Example with multiplexers.
• Optimizing Sequential Cycles Through Shannon Decomposition and Retiming (PDF) Paper on application.