- Законы Кеплера
-
Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом
/
→ 0, где
,
— массы планеты и Солнца.
Первый закон Кеплера (закон эллипсов)
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением
, где
— расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния),
— большая полуось. Величина
называется эксцентриситетом эллипса. При
, и, следовательно,
эллипс превращается в окружность.
Доказательство первого закона КеплераЗакон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во вселенной притягивает каждый другой объект по линии соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму
Вспомним, что в полярных координатах
В координатной форме запишем
Подставляя
и
во второе уравнение, получим
которое упрощается
После интегрирования запишем выражение
для некоторой константы
, которая является удельным угловым моментом (
).Пусть
Уравнение движения в направлении
становится равным
Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как
где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.
В результате
Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:
для произвольных констант интегрирования e и θ0.
Заменяя u на 1/r и полагая θ0 = 0, получим:
Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
Второй закон Кеплера (закон площадей)
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.
Применительное к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Доказательство второго закона КеплераПо определению угловой момент
точечной частицы с массой
и скоростью
записывается в виде:
.
где
— радиус-вектор частицы а
— импульс частицы. Площадь, заметаемая радиус-вектором
за время
из геометрических соображений равна
, где
представляет собой угол между направлениями
и
.
По определению
.
В результате мы имеем
.
Продифференцируем обе части уравнения по времени
поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что
, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади
— константа.
Третий закон Кеплера (гармонический закон)
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.
, где
и
— периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а
и
— длины больших полуосей их орбит.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:
, где
— масса Солнца, а
и
— массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Доказательство третьего закона КеплераВторой закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.
Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем
Теперь, когда мы нашли
, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим
Однако полная площадь эллипса равна
(что равно
, поскольку
). Время полного оборота, таким образом, равно
Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы
(см. приведённая масса). При этом массу M в последней формуле нужно заменить на
:
История астрономии Древний период Вавилон | Древний Египет | Древний Китай | Индия | Инки | Майя | Ацтеки | Австралийские аборигены | Древняя Греция Средневековье Исламский Восток | Средневековая Европа Становление теоретической астрономии Гелиоцентрическая система мира | Законы Кеплера XVII век Закон всемирного тяготения | XVIII век Эдмунд Галлей | Уильям Гершель XIX век Открытие Нептуна | XX век Телескоп Хаббл | См. также: Портал:Астрономия Категории:- Небесная механика
- Законы классической механики
Wikimedia Foundation. 2010.