- Задача о клике
-
Задача о клике относится к классу NP-полных задач в области теории графов. Впервые она была сформулирована в 1972 году Ричардом Карпом.[1]
Кликой в неориентированном графе называется подмножество вершин, каждые две из которых соединены ребром графа. Иными словами, это полный подграф первоначального графа. Размер клики определяется как число вершин в ней. Задача о клике существует в двух вариантах: в задаче распознавания (англ.) требуется определить, существует ли в заданном графе G клика размера k, в то время как в вычислительном варианте требуется найти в заданном графе G клику максимального размера.
Содержание
NP-полнота
NP-полнота задачи о клике следует из NP-полноты задачи о независимом множестве (вершин). Легко показать, что необходимым и достаточным условием для существования клики размера k является наличие независимого множества размера не менее k в дополнении графа. Это очевидно, поскольку полнота подграфа означает, что его дополнение не содержит ни одного ребра.
Другое доказательство NP-полноты можно найти в книге «Алгоритмы: построение и анализ».[2]
Алгоритмы
Как и для других NP-полных задач, эффективного алгоритма для поиска клики заданного размера на данный момент не найдено. Полный перебор всех возможных подграфов размера k с проверкой того, является ли хотя бы один из них полным, — неэффективен, поскольку полное число таких подграфов в графе с v вершинами равно биномиальному коэффициенту
Другой алгоритм работает так: две клики размера n и m «склеиваются» в большую клику размера n+m, причём кликой размера 1 полагается отдельная вершина графа. Алгоритм завершается, как только ни одного слияния больше произвести нельзя. Время работы данного алгоритма линейно, однако он является эвристическим, поскольку не всегда приводит к нахождению клики максимального размера. В качестве примера неудачного завершения можно привести случай, когда вершины, принадлежащие максимальной клике, оказываются разделены и находятся в кликах меньшего размера, причём последние уже не могут быть «склеены» между собой.
См. также
- Алгоритм Брона — Кербоша — быстрое нахождение клик
Примечания
- ↑ Karp, Richard (1972). "Reducibility Among Combinatorial Problems". Proceedings of a Symposium on the Complexity of Computer Computations, Plenum Press.
- ↑ Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4
Литература
- Cook, Stephen A. (1971). "The Complexity of Theorem-Proving Procedures". Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing: 151-158. Проверено 2007-06-11.
- Garey, Michael R. & Johnson, David S. (1979), «Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness», W.H. Freeman, ISBN 0-7167-1045-5 A1.2: GT19, pg.194.
Ссылки
NP-полные задачи Математика Исследование операций:Оптимизация:Комбинаторная оптимизация Максимизационная задача
укладки (упаковки)Упаковка в контейнеры (двумерная упаковка • линейная упаковка • упаковка по весу • упаковка по стоимости) • Задача о ранце (рюкзаке) Теория графов
теория множествЗадача о вершинном покрытии • Задача о клике • Задача о независимом множестве (наборе) • Задача о покрытии множества • Задача Штейнера • Задача коммивояжёра • Обобщённая задача коммивояжёра Алгоритмические задачи Задача выполнимости булевых формул (в конъюнктивной нормальной форме) Логические игры
и головоломкиОбобщённые пятнашки с костяшками >15) (задача поиска кратчайшего решения) • Задачи, решения которых применяются в Тетрис • Задача обобщённого судоку • Задача о заполнении латинского квадрата • Задача какуро См. также Прикладная математика • Теория алгоритмов • Динамическое программирование • 21 NP-полная задача Карпа Классы сложности Категории:- NP-полные задачи
- Теория графов
Wikimedia Foundation. 2010.