Вариация однолистной функции

Вариация однолистной функции — понятие теории однолистных функций.

Для определения вариации рассмотрим однолистную функцию $f(z)$ комплексного переменного $z$ в некоторой области $D$ плоскости и зависящее от вещественного параметра $\lambda$, где $0\leqslant\lambda\leqslant\Lambda,\;\Lambda>0$, семейство $F(z,\;\lambda)$ функций, также однолистных в $D$ при каждом фиксированном $\lambda\in[0,\;\Lambda]$. Составим разность $F(z,\;\lambda)-F(z,\;0)\equiv\Phi(z,\;\lambda)$, считая при этом, что $F(z,\;0)=f(z)$.

Тогда вариацией $n$-го порядка, или $n$-й вариацией ($n=1,\;2,\;\ldots$) однолистной функции $f(z)$ по семейству $F(z,\;\lambda)$ называется коэффициент $q_n(z)$ при $\lambda^n$ в разложении $\Phi(z,\;\lambda)$ по параметру $\lambda$ при условии, что остаточный член

$\varphi_n(z,\;\lambda)=\Phi(z,\;\lambda)-q_1(z)\lambda-q_2(z)\lambda^2-\ldots-q_n(z)\lambda^n$

имеет порядок малости более высокий, чем $\lambda^n$, равномерно относительно $z$ или в области $D$, или внутри $D$, или в замыкании $D$. Выбор одного из указанных дополнительных условий обычно предопределяется задачей, в исследовании которой используются вариационные методы, связанные с вариацией однолистной функции.

Впервые вычисления и применения вариаций первого порядка однолистных функций были проведены Ж. Адамаром^[1], а позднее М. А. Лаврентьевым^[2].

Получение вариаций в некотором классе однолистных функций может представлять весьма сложную самостоятельную задачу, что связано с нелинейностью семейств этих функций. Задача решена только для некоторых классов функции в односвязных и многосвязных областях^[3].

Литература

• Голузин, Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966. — 628 с..

Примечания

1. ↑ Hadamar J. Leçons sur le calcul des variations. — t. 1. — P., 1910.
2. ↑ Лаврентьев M. А. Математический сборник. — 1938. — т. 4(46). — № 3. — с. 391—458.
3. ↑ Бабенко К. И. Труды математического института АН СССР. — М., 1972. — т. 101.