- Формула Герона
-
Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:
где p — полупериметр треугольника: .
Доказательство- ,
где — угол треугольника, противолежащий стороне . По теореме косинусов:
Отсюда:
Значит,
- .
Замечая, что , , , , получаем:
Таким образом,
История
Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I века н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.
Вариации и обобщения
- Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:
- где — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю.)
- Теорема Люилье. Площадь сферического треугольника выражается через его стороны как:
- , где — полупериметр.
- Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники).
- Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде:
- Она является частным случаем определителя Кэли — Менгера для вычисления гиперобъёма симплекса.
См. также
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Геометрия треугольника
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.